El 'teorema de la bola peluda' de las matemáticas muestra por qué siempre hay al menos un lugar en la Tierra donde no sopla viento

Esto es lo que el problema más complicado de matemáticas puede enseñarnos sobre el viento, las antenas y la fusión nuclear.

Te sorprenderá saber que no puedes peinar los pelos sobre un coco sin crear un mechón. Quizás lo más sorprendente sea que esta tonta afirmación con un nombre aún más tonto, "el teorema de la bola peluda", sea un orgulloso descubrimiento de una rama de las matemáticas llamada topología. Dejando a un lado el humor juvenil, el teorema tiene consecuencias de gran alcance en la meteorología, la transmisión de radio y la energía nuclear.

Aquí, "cowlick" puede significar una calva o un mechón de cabello que sobresale hacia arriba, como el que luce el personaje de Alfalfa en "The Little Rascals". Por supuesto, los matemáticos no se refieren a cocos ni remolinos al plantear el problema. En un lenguaje más técnico, pensemos en el coco como una esfera y los pelos como vectores. Un vector, a menudo representado como una flecha, es simplemente algo con una magnitud (o longitud) y una dirección. Peinar el cabello contra los lados del coco formaría el equivalente a vectores tangentes, aquellos que tocan la esfera exactamente en un punto a lo largo de su longitud. Además, queremos un peine liso, por lo que no permitimos que el cabello se haga raya en ningún lado. En otras palabras, la disposición de los vectores en la esfera debe ser continua, es decir, los pelos cercanos deben cambiar de dirección sólo de forma gradual, no bruscamente. Si unimos estos criterios, el teorema dice que de cualquier manera que intentemos asignar vectores a cada punto de una esfera, algo feo está destinado a suceder: habrá una discontinuidad (una parte), un vector con longitud cero (una parte calva). spot) o un vector que no logra ser tangente a la esfera (Alfalfa). En toda la jerga: no puede existir un campo vectorial tangente continuo que no desaparezca en una esfera.

Esta afirmación se extiende a todo tipo de figuras peludas. En el campo de la topología, los matemáticos estudian las formas, como lo harían en geometría, pero imaginan que estas formas están hechas de una goma siempre elástica. Aunque ese caucho es capaz de moldearse en otras formas, es incapaz de rasgarse, fusionarse o atravesarse a sí mismo. Si una forma puede transformarse suavemente en otra sin hacer estas cosas, entonces esas formas son equivalentes, en lo que respecta a los topólogos. Esto significa que el teorema de la bola peluda se aplica automáticamente a cubos peludos, animales de peluche peludos y bates de béisbol peludos, que son todos topológicamente equivalentes a esferas. (Podrías moldearlos todos a partir de una bola de Play-Doh sin violar las reglas de goma).

Algo que no equivale a una esfera es tu cuero cabelludo. El cuero cabelludo por sí solo puede aplanarse hasta formar una superficie y peinarse en una dirección como las fibras de una alfombra peluda. Lamentablemente, las matemáticas no pueden excusar tu cabecera. Los donuts también se diferencian de las esferas, por lo que un donut peludo (una imagen poco apetecible, sin duda) se puede peinar suavemente.

He aquí una curiosa consecuencia del teorema de la bola peluda: siempre habrá al menos un punto en la Tierra donde el viento no sopla sobre la superficie. El viento fluye en una circulación continua alrededor del planeta, y su dirección y magnitud en cada lugar de la superficie se pueden modelar mediante vectores tangentes al globo. (Las magnitudes vectoriales no necesitan representar longitudes físicas, como las de los cabellos). Esto cumple las premisas del teorema, lo que implica que las ráfagas deben morir en algún lugar (creando un mechón). Un remolino podría ocurrir en el ojo de un ciclón o remolino, o podría ocurrir porque el viento sopla directamente hacia el cielo. Esta elegante herramienta en línea muestra las corrientes de viento actualizadas en la Tierra y puedes detectar claramente los remolinos.

Para observar otra extraña ramificación del teorema, haz girar una pelota de baloncesto en la dirección que quieras. Siempre habrá un punto en la superficie que tenga velocidad cero. Nuevamente, asociamos un vector tangente con cada punto según la dirección y la velocidad en ese punto de la pelota. El giro es un movimiento continuo, por lo que se aplica el teorema de la bola peluda y asegura un punto sin velocidad alguna. Si lo reflexionamos más a fondo, esto podría parecer obvio. Una bola que gira gira alrededor de un eje invisible y los puntos en cada extremo de ese eje no se mueven. ¿Qué pasaría si perforamos un pequeño agujero en la bola exactamente a lo largo de ese eje para eliminar los puntos estacionarios? Parece entonces que cada punto estaría en movimiento. ¿Viola esto el teorema de la bola peluda? No, ¡porque perforar un agujero transformó la bola en un donut! Incluso los donuts con agujeros inusualmente largos y estrechos incumplen las reglas del teorema: se evita la contradicción.

Pasando de los escenarios de juguete, el teorema de la bola peluda en realidad impone limitaciones tangibles a los ingenieros de radio. Las antenas transmiten ondas de radio en diferentes direcciones según las opciones de diseño. Algunos dirigen sus señales en una dirección específica, mientras que otros emiten más ampliamente. Uno podría verse tentado a simplificar las cosas y construir sólo antenas que envíen señales de igual intensidad en todas direcciones a la vez, que se denominan antenas isotrópicas. Sólo hay un problema: cierto hecho hirsuto de la topología exige que las antenas isotrópicas no pueden existir. Imagine una esfera de ondas que emanan de una fuente central. Suficientemente lejos de la fuente, las ondas de radio exhiben un campo eléctrico perpendicular a la dirección en la que viajan, lo que significa que el campo es tangente a la esfera de ondas. El teorema de la bola peluda insiste en que este campo debe caer a cero en algún lugar, lo que implica una perturbación en la señal de la antena. Las antenas isotrópicas sirven simplemente como ideales teóricos con los que comparamos el rendimiento real de la antena. Curiosamente, el sonido transmite un tipo diferente de onda sin la propiedad perpendicular de las ondas de radio, por lo que son posibles altavoces que emanen sonido de igual intensidad en todas las direcciones.

Quizás la aplicación más genial del teorema de la bola peluda se refiere a la energía de fusión nuclear. La energía de fusión encierra una inmensa promesa de ayudar, quizás algún día, a aliviar la crisis energética. Tiene el potencial de generar grandes cantidades de energía sin las preocupaciones ambientales que afectan a los combustibles fósiles y con muchos menos riesgos radiactivos asociados con los reactores de fisión nuclear tradicionales. En pocas palabras, los reactores de fusión comienzan tomando un combustible como el hidrógeno y sometiéndolo a calor y presión intensos, que lo desgarran en sus partes constituyentes para formar plasma. El plasma es una nube de electrones y otras partículas cargadas que saltan y ocasionalmente se fusionan para formar nuevas partículas, liberando energía en el proceso.

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Hay un obstáculo de ingeniería fundamental al construir reactores de fusión: ¿cómo se puede contener plasma que es 10 veces más caliente que el núcleo del sol? Ningún material puede soportar esa temperatura sin desintegrarse en el propio plasma. Por eso los científicos han ideado una solución inteligente: aprovechan las propiedades magnéticas del plasma para confinarlo dentro de un fuerte campo magnético. Los diseños de contenedores más naturales (cajas de pensamiento o botes) son todos topológicamente equivalentes a esferas. Un campo magnético alrededor de cualquiera de estas estructuras formaría un campo vectorial tangente continuo, y en este punto sabemos qué les sucede a esas construcciones peludas. Un cero en el campo magnético significa una fuga en el contenedor, lo que significa un desastre para todo el reactor. Esta es la razón por la que el diseño líder de reactores de fusión, el tokamak, tiene una cámara en forma de rosquilla. El megaproyecto del Reactor Termonuclear Experimental Internacional (ITER) planea terminar la construcción de un nuevo tokamak en Francia para 2025, y los involucrados afirman que su sistema de confinamiento magnético será "el sistema magnético superconductor más grande e integrado jamás construido". Esa es la topología que desempeña su papel en nuestro futuro de energía limpia.

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Jack Murtagh escribe sobre matemáticas y acertijos, incluida una serie sobre curiosidades matemáticas en Scientific American y una columna semanal de acertijos en Gizmodo. Sus acertijos originales han aparecido en el New York Times, el Wall Street Journal y Los Angeles Times, entre otros medios. Tiene un doctorado. en informática teórica de la Universidad de Harvard.

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